Народный художник СССР (1977). Академик АХ СССР (1975; член-корреспондент 1970). Лауреат Сталинской премии второй степени (1950) и Государственной премии РСФСР имени И. Е. Репина (1969).
Родился 8 (21) марта 1917 года в Суздале (Владимирской губернии), ныне — области. Вскоре семья переехала в Петроград, где Юра окончил 3 класса школы. С детства Юрий имел страсть к рисованию. Отцу удалось показать рисунки мальчика Кустодиеву, который сообщил, что мальчик способный и надо поощрять его увлечение. В 1927 г. семья переехала в Москву. Отец отвел Юру на экзамены в Московский изотехникум памяти 1905 года, когда сыну исполнилось 14 лет. Он успешно сдал экзамены, но сначала его не зачислили из-за возраста. За него вступился К.Ф.Морозов, который добился зачисления Юрия под свою ответственность. Сначала Юрий был зачислен на педагогическое отделение, где рисунок преподавал Морозов, а живопись Архипов (не Абрам). После 3 курса в техникуме создали отделение станковой живописи и отобрали в него лучших учеников, в число которых попал и Юрий. Вместе с ним учился Николай Соломин. живопись преподавали Зефиров, рисунок Морозов, а потом Фролов, ученик Серова. Заканчивал учебу Юрий в 1936 г. под руководством Н. П. Крымова. Дипломная работа «Трипольская трагедия» произвела впечатление на С.Герасимова и И.Грабаря, которые отбирали студентов в созданный художественный институт (позднее МХАГИ им. Сурикова). В который в том же году Юрий был принят без экзаменов сразу на второй курс. Параллельно с Юрием учились Павел Судаков и Василий Нечитайло. В 1939 вместе с В.Нечитайло пишет картину для Всесоюзной выставки «Юбилей сельской учительницы». Эта работа была преддипломной. Написанию диплома помешала война. Пятого июля Юрий вместе с первой группой студентов уехал рыть противотанковые рвы. Ребята выполнили работу на своем участке и ждали дальнейших приказов, но в сентябре вышло указание Сталина вернуть студентов на учебу. Приехали в Москву, а институт собирается на эвакуацию в Самарканд. Было не ясно, когда студенты смогут отправиться эшелоном. Тем, кто не хотел ждать, дали справки и они отправились самостоятельно. Шли сначала пешком по снегу в мороз. Иногда подвозили машины, удалось сесть на пароход до Куйбышева. От Куйбышева на поезде доехали до Ташкента, а оттуда уже до Самарканда. Там дождались приезда института. В 1942 году окончил МГАХИ имени В. И. Сурикова по мастерской профессора С. В. Герасимова дипломной работой «Казнь партизан». Был зачислен в аспирантуру, но направлен в Москву, где получил свою мастерскую. В 1945 году окончил аспирантура МГАХИ имени В. И. Сурикова, где преподавали С. В. Герасимов, Н. Х. Максимов, И. Э. Грабарь. В 1948—1951 годах — преподавал рисунок в МГАХИ имени В. И. Сурикова. В 1950 году утверждён в звании доцента. В 1950 г. Ю. П. Кугач в соавторстве с художниками В.Г.Цыплаков и В. К. Нечитайло создал полотно «Великому Сталину – слава!». Дважды награжден золотой медалью Академии художеств СССР (1966) за картины «Перед танцами» (1961) и «В субботу» (1965). С 1978 участник международных выставок за рубежом (Японии, Польше, Великобритании, Сингапуре, ФРГ, Финляндии, Швейцарии). Персональные выставки: в Москве (1987, 2002, 2003) и городах СССР и Японии (1977).
Умер 23 апреля 2013 года в деревне Малый Городок Вышневолоцкого района Тверской области.
Произведения находятся в Государственной Третьяковской галерее (Москва), Государственном Русском музее (С.-Петербург), Киевском музее русского искусства, Омском музее изобразительных искусств, Пермской художественной галерее, Ярославском художественном музее, Ростовском областном музее изобразительных искусств, Тверской областной картинной галерее, в музеях Нижнего Новгорода, Харькова, Львова и Таганрога, Дирекции художественных фондов Министерства культуры РСФСР (Москва).